1 引言
时滞是动态系统不稳定的因素之一,大量存在于各种工程实践中,过去几十年受到了人们的广泛关注和研究。最近,工程实际系统中一类特殊的时滞,即区间时变时滞引起了学者们的重视,并得到了深入研究[1,2,3]。区间时变时滞,是指时滞在一个区间内变化,而该区间的下届并不限定为0。
控制器的增益扰动很容易使系统的控制器失效达不到系统所要求的性能指标。非脆弱控制器的提出有效的解决了控制器增益扰动对系统性能指标的影响。因此,非脆弱控制器对于系统的控制性能来说是必要的[4]。
近年来,Wu[5]等提出了一种自由权矩阵方法,这种方法不用模型变换及交叉项界定,取得了一系列具有更低保守性的时滞相关稳定性条件。本文将主要对带有区间时滞系统的非脆弱鲁棒控制器的设计问题进行研究,得到系统时滞相关的鲁棒稳定条件。首先对时滞时间进行了重新划分,把区间时滞化成了3个互不重叠的部分,通过引入一个新的等式来降低区间时滞系统的稳定性存在条件的保守性。
2 问题描述
考虑一类带有区间时滞的线性系统:
是状态向量;
为控制输入变量;
为能量有限的外部干扰输入向量,且
和
均为
范数有界;
是时变连续的函数且满足
其中,
为已知的常数;
是适维常数矩阵;
是适维未知矩阵,表示系统的时变结构不确定性。
参数不确定性满足范数有界,即
式中,
为适维常数矩阵;
是未知时变不确定矩阵,且满足
式中,
为适当维数的单位矩阵。
在控制器实际应用的过程中,考虑到增益扰动的存在,控制器的形式可以写为
本文的主要目的是设计非脆弱鲁棒控制器,讨论区间时滞系统的鲁棒稳定以及鲁棒稳定化依赖于时滞的充分条件。为此,首先引入如下引理:
引理1[6]:给定对称矩阵
,其中,
。则以下3个条件是等价的:
引理2[7]:设
为
上具有连续一阶导数的向量函数,则对于任意定常矩阵
,
满足不等式
引理3:给定具有适当维数的矩阵
和
对任意满足
成立的充分条件是存在
,使得
。
考虑系统(1)的标称系统
(6)
定理1:如果存在适当维数的矩阵
,
以及
,使以下矩阵不等式成立:
则标称系统(6)是渐近稳定的。其中
经过适当整理,利用Schur补,得到:
如果LMI(7)有界,则
,所以系统在非脆弱鲁棒
控制器的控制下是渐近稳定的。
证毕。
下面将结论扩展到不确定系统中。用类似的方法,定理2得到了不确定系统的稳定性条件。
定理2:如果存在适当维数的矩阵
使以下矩阵不等式成立:
其中
则不确定系统(1)渐近稳定。
证明:在定理1中,将
分别用
替换,有如下不等式成立:
其中:定义于式(7),
和
定义于式(9),则系统(1)渐近稳定。
对矩阵不等式(10)将引理3应用
次，则对所有满足
的成立,当且仅当存在
使得下式成立:
由Schur补,不等式(11)等价于LMI(8)。
4 仿真算例
考虑以下参数的时滞不确定系统:
给定时滞变化率
对于不同的时滞下届
,保证系统鲁棒稳定的时滞上界
可以由LMI工具箱求得,结果如表1。
从表中可以看出,与文献[3,5]相比,本文提出的方法求得的时滞上限可以取得较大的数值。因此,对于时滞依赖的稳定性判据,本文方法具有更小的保守性。
5 结束语
本文主要针对一类带有区间时变时滞的线性不确定系统,进行了非脆弱鲁棒控制器设计,并分析了稳定性。通过构造新的Lyapunov函数,结合积分不等式和线性不等式的处理方法,得到了系统时滞相关鲁棒稳定的条件。通过理论分析和仿真算例证明了这种方法的有效性。
参考文献:
[1] GU K.An integral inequality in the stability problem of time-delay systems[C].Proc of the 39th IEEE Conf on Decision Control.Sydney,2000:2805-2810.
[2] 金辉,郭戈.一类线性时滞系统的鲁棒稳定性分析[J].控制工程,2009,16(3):398-402.
[3] JIANG X F,HAN Q L.Delay-dependent robust stability for uncertain linear systems with interval time-varying delay[J].Automatica,2006,42(6):1059-1065.
[4] 吴敏,肖伸平,张先明等.中立型系统的时滞相关非脆弱控制[J].系统工程与电子技术(Systems Engineering and Electronics),2008,39(9):1768-1773.
[5] WU M,H E Y,SHE H,et al.Delay-dependent criteria for robust stability of time-varying delay systems[J].Automatica,2004,40(8):1435-1439.
[6] 张先明,吴敏,何勇.不确定多时变时滞系统的时滞相关鲁棒控制[J].控制与决策,2004,19(5):496-500.
[7] XIE L H.Output feedbackcontrol of system with parameter uncertainty[J].Journal of Control,1996,63(4):741-750.
作者简介:邵克勇(1969-),男,博士,教授,研究方向:最优控制、智能控制以及复杂系统的鲁棒控制理论及应用。